Équation d'entiers et diviseurs - Corrigé

Énoncé

Déterminer les solutions dans \(\mathbb{N}\) de l'équation  \((n-1)(n+3)=609\) .

Solution

On a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}609&3\\ 203&7\\ 29&29\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(609=3 \times 7 \times 29\) .
Les diviseurs de \(609\) sont donc \(1\) ; \(3\) ; \(7\) ; \(21\) ; \(87\) ; \(203\) et \(609\) .

Trouver \(n \in \mathbb{N}\) tel que \((n-1)(n+3)=609\) revient à trouver deux diviseurs positifs de \(609\) tels que la différence entre ces deux diviseurs vaut \(4\)  et leur produit vaut  \(609\) .

Parmi les diviseurs de  \(609\) , seuls  \(3\) et \(7\) ont une différence égale à \(4\) . 
On peut donc poser \(n-1=3\) et \(n+3=7\) , mais  \(3 \times 7 \neq 609\) .

Ainsi,   l'équation  \((n-1)(n+3)=609\)  n'a pas de solution dans  \(\mathbb{N}\) .